Dieses Tutorium demonstriert die wesentlichen praktischen Schritte der Hauptkomponentenanalyse eines multivariaten, metrisch skalierten Datenssatzes und einer gegebenenfalls damit verbundenen Dimensionsreduktion der Ausgangsdaten. Die Grundüberlegungen zur Hauptkomponentenanalyse und der Dimensionsreduktion wurden im Wesentlichen von Pearson (1901), Hotelling (1933) und Kaiser (1960) angestellt; siehe auch Hatzinger et al (2014), Hair et al (2010) oder Jolliffe (2002).
Als Beispiel wird hier ein trivariater Datensatz herangezogen, der Messwerte zu den drei metrisch skalierten Variablen Körpergröße [cm], Masse [kg] und Alter [yr] für eine Stichprobe von 187 volljährigen Frauen umfasst.
Die nachfolgenden Ergebnisse werden erstellt mit R Version 4.0.2.
library(tidyverse)
## -- Attaching packages --------------------------------------- tidyverse 1.3.0 --
## v ggplot2 3.3.2 v purrr 0.3.4
## v tibble 3.0.3 v dplyr 1.0.0
## v tidyr 1.1.0 v stringr 1.4.0
## v readr 1.3.1 v forcats 0.5.0
## -- Conflicts ------------------------------------------ tidyverse_conflicts() --
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::lag() masks stats::lag()
library(zinsszenarien)
library(plotly)
##
## Attaching package: 'plotly'
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## last_plot
## The following object is masked from 'package:stats':
##
## filter
## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## layout
library(psych)
##
## Attaching package: 'psych'
## The following objects are masked from 'package:ggplot2':
##
## %+%, alpha
library(REdaS)
## Loading required package: grid
library(GGally)
## Warning: package 'GGally' was built under R version 4.0.3
## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
## method from
## +.gg ggplot2
X-Matrix)load("testData.RData")
str(object = testData)
## 'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
## $ height: num 152 140 137 157 145 ...
## $ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
## $ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
## $ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
Ausfiltern eines trivariaten Teildatensatzes: Körpergröße [cm], Masse [kg] und Alter [yr] von Frauen ab 18 Jahren:
X <- testData %>% filter(.data = ., age >= 18 & male == 0)
colnames(X) <- c("height [cm]", "mass [kg]", "age [yr]", "male")
str(object = X)
## 'data.frame': 187 obs. of 4 variables:
## $ height [cm]: num 140 137 145 149 148 ...
## $ mass [kg] : num 36.5 31.9 41.3 38.2 34.9 ...
## $ age [yr] : num 63 65 51 32 19 47 73 20 65.3 31 ...
## $ male : int 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
Die Datenmatrix X ist die Rohdatenmatrix dieser Betrachtung.
X per StreudiagrammmatrixDer trivariate Datensatz in X wird mithilfe einer Streudiagrammmatrix visualisiert. Hierfür wird die Funktion ggpairs() aus dem Paket GGally verwendet.
ggpairs(data = X[, 1:3])
XMittelwert und Standardabweichung:
apply(X = X[, 1:3], MARGIN = 2, FUN = mean)
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 149.51352 41.81419 40.71230
apply(X = X[, 1:3], MARGIN = 2, FUN = sd)
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 5.084577 5.387917 16.219897
Standardisierte Schiefe- und Wölbungsmaße; vgl. Joanes und Gill (1998) und van Elst (2019):
zinsszenarien:::stand.schiefe(X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 0.0205191 1.7939789 3.3003240
zinsszenarien:::stand.woelbung(X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## -0.6688236 -0.9719034 -1.3598265
Sofern sowohl das standardisierte Schiefe- als auch das standardisierte Wölbungsmaß einen Wert vom Betrag kleiner 1,96 annehmen, kann von näherungsweise normalverteilten univariaten Daten ausgegangen werden.
Anzahlen von Ausreißern, Extremwerten und 6-sigma-Ereignissen; vgl. Toutenburg (2004):
zinsszenarien:::ausreisser(X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 0 1 0
zinsszenarien:::extremwerte(X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 0 0 0
zinsszenarien:::sechs_sigma_ereignisse(X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 0 0 0
Z-Matrix)Transformieren der Rohdaten auf eine gemeinsame dimensionslose Maßskala, auf welcher Messwerte als Abweichungen vom Mittelwert in Vielfachen der Standardabweichung kodiert werden.
Z <- scale(x = X[, c("height [cm]", "mass [kg]", "age [yr]")], center = TRUE, scale = TRUE)
colnames(Z) <- c("height_std [1]", "mass_std [1]", "age_std [1]")
dim(Z)
## [1] 187 3
head(x = Z)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,] -1.9300562 -0.9889505 1.3740963
## [2,] -2.5544936 -1.8466045 1.4974016
## [3,] -0.8060688 -0.0997265 0.6342642
## [4,] -0.0567439 -0.6627263 -0.5371365
## [5,] -0.3065189 -1.2888663 -1.3386213
## [6,] 0.9423560 1.4998244 0.3876535
Die Datenmatrix Z der standardisierten Messwerte bildet die Grundlage der nachfolgenden Analyseschritte.
Z per 3D-Streudiagrammfig1 <- plot_ly(data = as.data.frame(Z), type = "scatter3d", x = Z[, 1], y = Z[,
2], z = Z[, 3], mode = "markers", size = 1)
fig1
## Warning: `arrange_()` is deprecated as of dplyr 0.7.0.
## Please use `arrange()` instead.
## See vignette('programming') for more help
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_warnings()` to see where this warning was generated.
Z per Streudiagrammmatrixggpairs(data = as.data.frame(Z))
ZMittelwert und Standardabweichung:
apply(X = Z, MARGIN = 2, FUN = mean) %>% round(x = ., digits = 4)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## 0 0 0
apply(X = Z, MARGIN = 2, FUN = sd)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## 1 1 1
Standardisierte Schiefe- und Wölbungsmaße; vgl. Joanes und Gill (1998) und van Elst (2019):
zinsszenarien:::stand.schiefe(Z)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## 0.0205191 1.7939789 3.3003240
zinsszenarien:::stand.woelbung(Z)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## -0.6688236 -0.9719034 -1.3598265
Z für eine HauptkomponentenanalyseDie Eignung des trivariaten Datensatzes für eine Hauptkomponentenanalyse wird mit Bartletts (1951) Test auf Sphärizität sowie mit den KMO- und MSA-Maßen nach Kaiser, Meyer und Olkin (KMO) untersucht; vgl. Kaiser (1970), Guttman (1953) und Hatzinger et al (2014). Hierfür werden die Funktionen bart_spher() und KMO() aus dem Paket REdaS verwendet.
Bartletts (1951) frequentistischer Nullhypothesentest unterzieht die Grundannahme der Nichtsphärizität der Daten in Z einer empirischen Überprüfung. Im vorliegenden Fall liefert dies das folgende Resultat:
bart_spher(x = Z)
## Bartlett's Test of Sphericity
##
## Call: bart_spher(x = Z)
##
## X2 = 100.12
## df = 3
## p-value < 2.22e-16
Entsprechend dem erhaltenen p-Wert kann die Nullhypothese zu einem Signifikanzniveau von 0,01 verworfen werden.
Die KMO- und MSA-Maße nehmen folgende Werte an:
kmoZ <- KMOS(x = Z)
print(x = kmoZ, stats = "KMO")
##
## Kaiser-Meyer-Olkin Statistic
## Call: KMOS(x = Z)
##
## KMO-Criterion: 0.5478232
print(x = kmoZ, stats = "MSA", sort = TRUE, digits = 3, show = 1:3)
##
## Kaiser-Meyer-Olkin Statistics
##
## Call: KMOS(x = Z)
##
## Measures of Sampling Adequacy (MSA):
## mass_std [1] height_std [1] age_std [1]
## 0.531 0.533 0.775
Empfohlen werden für die KMO- und MSA-Maße Werte zwischen 0,8 und 1,0; vgl. Hatzinger et al (2014) und Hair et al (2010). In dieser Hinsicht stellt der hier betrachtete trivariate Datensatz in Z ein Negativbeispiel bzgl. der Eignung für eine Hauptkomponentenanalyse dar.
R-Matrix) und ihrer InversenDie Korrelationsmatrix des betrachteten trivariaten Datensatzes ist gegeben durch:
Rmat <- (1 / (nrow(Z) - 1)) * t(Z) %*% Z
Rmat
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## height_std [1] 1.0000000 0.6202596 -0.1863417
## mass_std [1] 0.6202596 1.0000000 -0.2308225
## age_std [1] -0.1863417 -0.2308225 1.0000000
Die Korrelationsmatrix besitzt eine von Null verschiedene Determinante und ist somit regulär. Folglich existiert eine Inverse.
det(x = Rmat)
## [1] 0.5806328
RmatInv <- solve(Rmat)
RmatInv
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## height_std [1] 1.63049873 -0.9941702 0.07435314
## mass_std [1] -0.99417018 1.6624566 0.19847692
## age_std [1] 0.07435314 0.1984769 1.05966802
Die Spur der Korrelationsmatrix beträgt
sum(diag(x = Rmat))
## [1] 3
Die drei Eigenwerte der Korrelationsmatrix sind
evAnaCor <- eigen(x = Rmat , symmetric = "TRUE")
evAnaCor$values
## [1] 1.7382412 0.8838105 0.3779482
sum(evAnaCor$values)
## [1] 3
ihre drei paarweise orthogonalen, normierten Eigenvektoren
evAnaCor$vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.6504363 0.3033698 0.69634715
## [2,] -0.6625952 0.2215906 -0.71544756
## [3,] 0.3713492 0.9267494 -0.05688085
Die Eigenvektoren der Korrelationsmatrix R werden auch ihre Hauptkomponenten genannt. Sie spannen die Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R im Euklidischen Raum R3 auf; vgl. Bronstein et al (2005).
Mit Bezug auf Kaisers (1960) Eigenwertkriterium wird festgestellt, dass nur einer der drei Eigenwerte der Korrelationsmatrix R größer 1 ist, dementsprechend also nur eine dominante Hauptkomponente der Korrelationsmatrix R vorliegt.
Der Erklärungswert der einzelnen Eigenvektoren an der Gesamtvarianz des trivariaten Datensatzes in Z beläuft sich auf
round(evAnaCor$values / sum(evAnaCor$values) , 4)
## [1] 0.5794 0.2946 0.1260
also 57,94 %, 29,46 % und 12,60 %, und kumuliert auf
round(cumsum(evAnaCor$values) / sum(evAnaCor$values) , 4)
## [1] 0.5794 0.8740 1.0000
Das R-Paket psych stellt die Funktion VSS.scree() zur Erstellung eines Gerölldiagramms nach Cattell (1966) bereit.
VSS.scree(rx = Z)
Zu extrahieren ist die Anzahl von Eigenwerten, die im Gerölldiagramm links des “Ellbogens” zu liegen kommen, hier also einer. Dieses Resultat ist im vorliegeneden Fall konsistent mit Kaisers Eigenwertkriterium.
V-Matrix), Eigenwertdiagonalmatrix (Lambda-Matrix) und inverse EigenwertdiagonalmatrixAus dem drei Eigenvektoren von R wird eine orthogonale Rotationsmatrix v bebildet, mithilfe welcher Transformationen in die rechtshändisch orientierte Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R vorgenommen werden können. Die Determinante der Rotationsmatrix v hat den Wert 1.
rotMatCor <- (-1) * evAnaCor$vectors # scaling by a factor of (-1)
rotMatCor
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.6504363 -0.3033698 -0.69634715
## [2,] 0.6625952 -0.2215906 0.71544756
## [3,] -0.3713492 -0.9267494 0.05688085
det(x = rotMatCor)
## [1] 1
Per Konstruktion genügt die Rotationsmatrix v den Orthonormalitätstests:
round(t(rotMatCor) %*% rotMatCor, 4)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1 0
## [3,] 0 0 1
round(rotMatCor %*% t(rotMatCor), 4)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1 0
## [3,] 0 0 1
Die Eigenwertdiagonalmatrix (Lambda-Matrix) zur Korrelationsmatrix R ist gegeben durch
LambdaCor <- diag(x = evAnaCor$values)
LambdaCor
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.738241 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.000000 0.8838105 0.0000000
## [3,] 0.000000 0.0000000 0.3779482
ihre Inverse durch
LambdaCorInv <- diag(x = (1/evAnaCor$values) )
LambdaCorInv
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.5752941 0.000000 0.000000
## [2,] 0.0000000 1.131464 0.000000
## [3,] 0.0000000 0.000000 2.645865
A-Matrix)Hauptkomponentenladungsmatrix A: Wie stark korrelieren die drei Ausgangsvariablen Körpergröße, Masse und Alter mit den hier bestimmten drei Hauptkomponenten (Eigenvektoren von R)?
AmatCor <- rotMatCor %*% LambdaCor ^ (1 / 2)
AmatCor
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.8575507 -0.2852016 -0.42809679
## [2,] 0.8735813 -0.2083199 0.43983924
## [3,] -0.4895956 -0.8712482 0.03496892
Konsistenztests für die Hauptkomponentenladungsmatrix A:
round(Rmat - AmatCor %*% t(AmatCor), 4)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## height_std [1] 0 0 0
## mass_std [1] 0 0 0
## age_std [1] 0 0 0
round(LambdaCor - t(AmatCor) %*% AmatCor, 4)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0 0 0
## [2,] 0 0 0
## [3,] 0 0 0
F-Matrix)Transformation des standardisierten trivariaten Datensatzes in Zin die Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R; dies definiert die F-Matrix.
FmatCor <- Z %*% AmatCor %*% LambdaCorInv
colnames(FmatCor) <- c("f_height_std [1]", "f_mass_std [1]", "f_age_std [1]")
dim(FmatCor)
## [1] 187 3
head(x = FmatCor)
## f_height_std [1] f_mass_std [1] f_age_std [1]
## [1,] -1.8362245 -0.4986426 1.1623874
## [2,] -2.6100451 -0.2165376 0.8829885
## [3,] -0.6264361 -0.3416280 0.8556499
## [4,] -0.2097674 0.7040217 -0.7566757
## [5,] -0.4219218 1.7223008 -1.2765885
## [6,] 1.1094795 -1.0397559 0.7139017
F-Matrix:proxy4 <- (1 / (nrow(FmatCor) - 1)) * t(FmatCor) %*% FmatCor
round(proxy4 - diag(rep(1, nrow(proxy4))), 4)
## f_height_std [1] f_mass_std [1] f_age_std [1]
## f_height_std [1] 0 0 0
## f_mass_std [1] 0 0 0
## f_age_std [1] 0 0 0
round((1 / (nrow(Z) - 1)) * t(Z) %*% FmatCor - AmatCor, 4)
## f_height_std [1] f_mass_std [1] f_age_std [1]
## height_std [1] 0 0 0
## mass_std [1] 0 0 0
## age_std [1] 0 0 0
head(x = round(FmatCor %*% t(AmatCor) - Z, 4))
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,] 0 0 0
## [2,] 0 0 0
## [3,] 0 0 0
## [4,] 0 0 0
## [5,] 0 0 0
## [6,] 0 0 0
F per 3D-Streudiagrammfig2 <- plot_ly(data = as.data.frame(FmatCor), type = "scatter3d", x = FmatCor[,
1], y = FmatCor[, 2], z = FmatCor[, 3], mode = "markers", size = 1)
fig2
F per Streudiagrammmatrixggpairs(data = as.data.frame(FmatCor))
Beispielhaft wird nun eine Dimensionsreduktion für den gegebenen trivariaten Datensatz in X auf Basis der Extraktion der einzigen dominanten Hauptkomponente der Korrelationsmatrix R demonstriert.
Dimensionsreduzierte Rotationsmatrix
rotMatCorRed <- as.matrix((-1) * evAnaCor$vectors[, 1])
rotMatCorRed
## [,1]
## [1,] 0.6504363
## [2,] 0.6625952
## [3,] -0.3713492
Dimensionsreduzierte Eigenwertdiagonalmatrix
LambdaCorRed <-
matrix(
data = evAnaCor$values[1],
nrow = 1,
ncol = 1,
byrow = TRUE
)
LambdaCorRed
## [,1]
## [1,] 1.738241
Inverse der dimensionsreduzierten Eigenwertdiagonalmatrix
LambdaCorRedInv <-
matrix(
data = 1 / evAnaCor$values[1],
nrow = 1,
ncol = 1,
byrow = TRUE
)
LambdaCorRedInv
## [,1]
## [1,] 0.5752941
Dimensionsreduzierte Hauptkomponentenladungsmatrix
AmatCorRed <- rotMatCorRed %*% LambdaCorRed ^ (1 / 2)
AmatCorRed
## [,1]
## [1,] 0.8575507
## [2,] 0.8735813
## [3,] -0.4895956
Dimensionsreduzierte F-Matrix
FmatCorRed <- Z %*% AmatCorRed %*% LambdaCorRedInv
dim(FmatCorRed)
## [1] 187 1
head(x = FmatCorRed)
## [,1]
## [1,] -1.8362245
## [2,] -2.6100451
## [3,] -0.6264361
## [4,] -0.2097674
## [5,] -0.4219218
## [6,] 1.1094795
(1 / (nrow(FmatCorRed) - 1)) * t(FmatCorRed) %*% FmatCorRed
## [,1]
## [1,] 1
Zapprox <- FmatCorRed %*% t(AmatCorRed)
colnames(Zapprox) <- c("height_std [1]", "mass_std [1]", "age_std [1]")
head(x = Z)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,] -1.9300562 -0.9889505 1.3740963
## [2,] -2.5544936 -1.8466045 1.4974016
## [3,] -0.8060688 -0.0997265 0.6342642
## [4,] -0.0567439 -0.6627263 -0.5371365
## [5,] -0.3065189 -1.2888663 -1.3386213
## [6,] 0.9423560 1.4998244 0.3876535
head(x = Zapprox)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,] -1.5746556 -1.6040913 0.8990074
## [2,] -2.2382460 -2.2800865 1.2778665
## [3,] -0.5372007 -0.5472428 0.3067003
## [4,] -0.1798862 -0.1832489 0.1027012
## [5,] -0.3618193 -0.3685830 0.2065711
## [6,] 0.9514349 0.9692205 -0.5431963
tail(x = Z)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [182,] 1.3170185 0.4106565 -0.4754839
## [183,] -0.6811813 -0.4469974 -0.2042121
## [184,] 0.5676935 -0.1839134 0.5109589
## [185,] 2.5658933 0.9683947 -0.8453999
## [186,] -1.3056188 -1.4046233 -0.5987892
## [187,] 1.3170185 2.2732915 -1.2153159
tail(x = Zapprox)
## height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [182,] 0.84901854 0.86488963 -0.48472437
## [183,] -0.43150557 -0.43957190 0.24635654
## [184,] 0.03749388 0.03819477 -0.02140612
## [185,] 1.70709764 1.73900920 -0.97462164
## [186,] -1.01309268 -1.03203088 0.57839810
## [187,] 1.83046773 1.86468550 -1.04505648
Dies erfordert eine Rücktransformation (Destandardisierung) der Daten in Z auf die ursprünglich für die drei Variablen Körpergröße, Masse und Alter verwendeten Maßskalen:
b <- attr(x = Z , "scaled:scale")
a <- attr(x = Z , "scaled:center")
Xapp_int <-
Zapprox * rep(b , each = nrow(Zapprox)) + rep(a , each = nrow(Zapprox))
XapproxCor <- data.frame(Xapp_int)
colnames(XapproxCor) <- c("height [cm]", "mass [kg]", "age [yr]")
head(x = X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 1 139.700 36.48581 63
## 2 136.525 31.86484 65
## 3 145.415 41.27687 51
## 4 149.225 38.24348 32
## 5 147.955 34.86988 19
## 6 154.305 49.89512 47
head(x = XapproxCor)
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 1 141.5071 33.17148 55.29411
## 2 138.1330 29.52927 61.43916
## 3 146.7821 38.86569 45.68695
## 4 148.5989 40.82686 42.37810
## 5 147.6738 39.82830 44.06286
## 6 154.3512 47.03627 31.90171
tail(x = X[, 1:3])
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 182 156.210 44.02677 33.0
## 183 146.050 39.40581 37.4
## 184 152.400 40.82328 49.0
## 185 162.560 47.03182 27.0
## 186 142.875 34.24620 31.0
## 187 156.210 54.06250 21.0
tail(x = XapproxCor)
## height [cm] mass [kg] age [yr]
## 182 153.8304 46.47414 32.85012
## 183 147.3195 39.44581 44.70818
## 184 149.7042 42.01998 40.36509
## 185 158.1934 51.18383 24.90404
## 186 144.3624 36.25369 50.09386
## 187 158.8207 51.86096 23.76159
fig3 <- plot_ly(data = as.data.frame(Zapprox), type = "scatter3d", x = Zapprox[,
1], y = Zapprox[, 2], z = Zapprox[, 3], mode = "markers", size = 1)
fig3
ggpairs(data = as.data.frame(Zapprox))
ggpairs(data = XapproxCor)
Fazit: Im vorliegenden Beispiel führt die Dimensionsreduktion zu einem Extremfall; ein trivariater Datensatz wurde effektiv zu einem univariaten Datensatz reduziert, mit maximal (minimal) möglichen Werten für die bivariaten Korrelationen.
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